解析

from 数学

解析

• 三角関数
  • 直角三角形による定義
  • 単位円による定義
  • 級数による定義
    • 角度や辺の長さは幾何学的な概念に依存している
    • 定義域を複素数に拡張する
  • 加法定理
  • $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$
  • $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$
    • XY座標上の点P(x, y)を回転移動させる場合、x, yの位置と回転させたい角度が分かれば計算可能
    • 行列の言葉で表すと
    • $\begin{bmatrix} x\prime \\ y\prime \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$
• 微分
  • 導関数を求めること
  • 実数を定義、極限を定義して連続を定義する必要がある
    • 数列の収束($\epsilon \text{-} N$論法)
    • 関数値の収束($\epsilon \text{-} \delta$論法)
  • 微分可能性
    • 微分係数$\lim_{h \to 0} \frac {f(a+h)-f(a)} {h}$ が存在する
      • 関数$f(x)$は$x = a$で微分可能
        • 微分係数 $f'(a)$
    • 左側極限値と右側極限値が等しい
      • 左側微分係数と右側微分係数
    • 微分可能であれば連続だが、逆は一般には成り立たない
      • $f(x) = |x|$ は$x =0$で連続だが微分可能ではない
  • ロルの定理
  • 平均値の定理
  • テイラー展開
  • ロピタルの定理
• 積分
  • 原始関数(不定積分)を求めること
    • 被積分関数の式変形が難しく、たくさん演習をこなす必要がある
      • 三角関数、指数・対数関数などの性質を理解しておく
  • 微分と積分は互いに逆の演算
  • 定積分
    • リーマン和の極限
  • 広義積分
    • 不連続な関数や区間が有限でない場合を考慮した積分
    • ガンマ関数