代数幾何学

from 数学

代数幾何学

• 「有限個の変数x1, x2, …, xnの有限個の多項式からなる連立方程式 f1(x)=f2(x)=…=fn(x)=0 を研究する学問」
  • 広中平佑『学問の発見』
  • 体上の有限型代数
• 式で定義された図形の幾何学
• 図形から出発して空間へ
• 可換環論の知識が必要
• 体上の代数幾何学
  • 代数多様体
  • 点とは何か
    • 極大イデアル
• 方程式は環である
  • 解とは準同型である
• 斉次座標(同次座標とも言う)
  • CGでワールド座標系→カメラ座標系→投影座標系→画像座標系を表すのに使える
    • 座標の次元を増やして、すべての幾何学的変換を行列で表す
• 射影平面は図学や建築学から生まれた
• ユークリッド平面
  • 点(a, b)と点(c, d)との距離は$\sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2}$
• アフィン平面
  • 距離を考えない
    • 3点が同一直線上にあるかどうかという問題の場合、距離は必要ない
• スキーム
  • 多項式そのもの
    • 解を考えるのではない