線形代数

from 数学

線形代数

• 行列
  • 数学Cで習った範囲
  • 計算方法だけで、どういうモチベーションのものなのかは教わった記憶がない(忘れているだけ？)
  • 本を読むだけでなく、とにかく演習をやった方がいい
• コンピュータグラフィックス
  • 回転
  • 拡大縮小
  • 平行移動
  • 剪断
  • 線形変換
    • ベクトルの加算とスカラー倍を保つベクトル変換
      • 線形結合も保つ
  • 3D表現
    • 右手系左手系の違いが外積の計算に影響する
  • GPU
• 機械学習で頻出
  • たくさんのパラメータを一気に計算する
• フィボナッチ数列は線形代数の言葉で表せる
• 次元
  • 我々の素朴な直観と一致する形で数学的に定義し、体系化する

線形とは

• 定義
  • 写像$f$が以下の性質を満たす
    • $f(x+y)= f(x) + f(y)$
    • $f(kx) = kf(x)$
    • まとめて書くと
    • $f(kx + ly) = kf(x) + lf(y) $
  • 線形写像、線形変換、一次変換
• 簡単に言うと
  • 演算してから写像した結果と、写像してから演算した結果が同じ
• 直感的な理解
  • 変数と変数の関係が直線
    • 「変数と変数」の関係であることに注意
• 確認してみる
  • $f(x) = 2x$で$a=1, b=2$のとき
    • $f(a+b)$は$f(3) = 6$、$f(a)+f(b)$は$f(1) + f(2) = 2 + 4 = 6$
    • $f(a・b)$は$f(2・2) = 8$、$f(4) = 8$、$2・f(2)=2・4=8$
    • $f(a+b)=f(a)+f(b)$
  • 一般的に
    • $f(x+y)=2(x+y)=2x+2y$
    • $f(x+y)=f(x)+f(y)$
  • $f(x) = 2x^2$で$a=1, b=2$のとき
    • $f(a+b)$は、$f(3)=18$、$f(a)+f(b)$は$f(1)+f(2)=2+8=9$
    • $f(a+b)≠f(a)+f(b)$
    • 非線形
    • グラフを描いても確かに曲線になる
  • 一般的に
  • $f(x+y)=2(x+y)^2=2x^2+4xy+2y^2$
  • $f(x+y)≠f(x)+f(y)$
  • 原点を通らないのも非線形
    • $f(x)=2x+1$で$a=1, b=2$とすると
    • $f(a+b)$は$f(3)=7$、$f(a)+f(b)=3+5=8$
    • 一般的に
    • $f(x+y)=2(x+y)+1=2x+2y+1$
    • $f(x)+f(y)=2x+1+2y+1=2x+2y+2$
    • $f(x+y)≠f(x)+f(y)$
    • 比例とか直線のグラフが線形だと思ってると間違う
      • 平面の場合もある

ベクトル

• とりあえずの定義
  • 数を並べたもの
  • 大学数学では縦に並べる

基底変換

固有値・固有ベクトル

• どんな一次変換でも、必ず向きが変わらないベクトルが存在する
  • ある正方行列Aがあり、その行列に特別な値とベクトルを探す
• 正方行列を対角化でき、$n$乗の計算がしやすくなる

参考文献

• 竹内淳『高校数学でわかる線形代数』
• 鍵本聡、北垣絵美『マンガ 線形代数入門』
  • 分かりやすい
  • 行列式は式を提示するのみ
• 平岡和幸、堀玄『プログラミングのための線形代数』
• 藤岡敦『手を動かしてまなぶ線形代数』
• 加藤文元『大学教養　線形代数』
• 隈部正博『入門線型代数（’１９）』
• 森毅『線型代数　生態と意味』
• 梶原健『線形代数講義』
• 長谷川浩司『線型代数』
• 小島寛之『ゼロから学ぶ線形代数』
• 石村園子『すぐわかる線形代数』
• 石井俊全『意味がわかる線形代数』
  • 詳しく平易な言葉で書かれていてありがたい
• 中西崇文『Pythonハンズオンによるはじめての線形代数』
• Philip N. Klein『Coding The Matrix: Linear Algebra Through Computer Science Applications』